Question

已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线的焦点重合.

（1）求椭圆的方程；

（2）斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，设点，的面积为，求的值；

（3）若直线过点，且与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，直线的纵截距为，证明：为定值.

Answer

（1）（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）把点坐标代入椭圆方程得，再结合焦点坐标可求得得椭圆方程；

（2）设直线，设，直线方程代入抛物线方程后可得，由弦长公式求得，求出到直线的距离，可表示出三角形面积，从而求得；

（3）设，得，由两点坐标得出直线方程，求出，同样由两点坐标求出直线方程，从而求出，计算，注意两点在椭圆上，有，，代入后可得常数．

[解]（1）设椭圆的方程为，由题设得，

，椭圆的方程是

（2）设直线，设，由得得.

与抛物线有两个交点，，

，，

则

到的距离，又，

，故.

（3）设，点关于轴的对称点为，

则直线，设得

直线，设得

，又，，