Question

已知数列{a_n}的各项均为整数，其前n项和为S_n．规定：若数列{a_n}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a_n}为“r关联数列”．

（1）若数列{a_n}为“6关联数列”，求数列{a_n}的通项公式；

（2）在（1）的条件下，求出S_n，并证明：对任意n∈N^*，a_nS_n≥a₆S₆；

（3）已知数列{a_n}为“r关联数列”，且a₁=﹣10，是否存在正整数k，m（m＞k），使得a₁+a₂+…+a_k﹣1+a_k=a₁+a₂+…+a_m﹣1+a_m？若存在，求出所有的k，m值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（或）

（2）见解析；（3）存在或或或．

【解析】

试题（1）若数列{an}为“6关联数列”，{an}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，可得a6=a1+5，a5=a1+4，且，即，解得a1，即可求数列{an}的通项公式；

（2）由（1）得（或，可见数列{anSn}的最小项为a6S6=﹣6，即可证明：对任意n∈N*，anSn≥a6S6；

（3），分类讨论，求出所有的k，m值．

【解析】
（1）∵数列{an}为“6关联数列”，

∴{an}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，

∴a6=a1+5，a5=a1+4，且，即，解得a1=﹣3

∴（或）

（2）由（1）得（或）

，

{Sn}：﹣3，﹣5，﹣6，﹣6，﹣5，﹣3，1，9，25，…{anSn}：9，10，6，0，﹣5，﹣6，4，72，400，…，

可见数列{anSn}的最小项为a6S6=﹣6，

证明：，

列举法知当n≤5时，（anSn）min=a5S5=﹣5；

当n≥6时，，设t=2n﹣5，则．

（3）数列{an}为“r关联数列”，且a1=﹣10，∵

∴

①当k＜m≤12时，由得（k+m）（k﹣m）=21（k﹣m）k+m=21，k，m≤12，m＞k，∴或．

②当m＞k＞12时，由2k﹣11﹣56=2m﹣11﹣56得m=k，不存在

③当k≤12，m＞12时，由，2m﹣10=k2﹣21k+112

当k=1时，2m﹣10=92，m∉N*；当k=2时，2m﹣10=74，m∉N*；

当k=3时，2m﹣10=58，m∉N*；当k=4时，2m﹣10=44，m∉N*；

当k=5时，2m﹣10=25，m=15∈N*；当k=6时，2m﹣10=22，m∉N*；

当k=7时，2m﹣10=14，m∉N*；当k=8时，2m﹣10=23，m=13∈N*；

当k=9时，2m﹣10=22，m=12舍去；当k=10时，2m﹣10=2，m=11舍去

当k=11时，2m﹣10=2，m=11舍去；当k=12时，2m﹣10=22，m=12舍去

综上所述，∴存在或或或．