Question

已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线E：的焦点重合，斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点，交椭圆于C、D两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线l经过点，设点，且的面积为，求k的值；

（3）若直线l过点，设直线，的斜率分别为，，且，，成等差数列，求直线l的方程.

Answer

（1）

（2）

（3）

【解析】

（1）由题知得到，解方程组即可.

（2）设直线：，由得：.利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到，解方程即可.

（3）设直线：，带入椭圆方程得到.根据韦达定理和等差中项的性质得到，解方程即可求出直线方程.

（1）设椭圆的方程为，

由题设得，∴.

∴椭圆的方程是.

（2）设直线：，设，，

由得：.

，.

与抛物线有两个交点，，，

则.

到的距离，

又，所以.

，故.

（3）设直线：，设，，

由消去得：.

因为在椭圆内部，所以与椭圆恒有两个交点,

所以.

由，，成等差数列得.

.

所以解得：.

所以直线的方程为.