Question

已知直线是双曲线的一条渐近线，点都在双曲线上，直线与轴相交于点，设坐标原点为.

（1）求双曲线的方程，并求出点的坐标（用表示）；

（2）设点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点.问：在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）若过点的直线与双曲线交于两点，且，试求直线的方程.

Answer

（1）；（2）存在定点，其坐标为或（3）

【解析】

（1）求得双曲线的渐近线方程，可得，由题意可得，，可得双曲线的方程，求出直线的方程，可令，求得的坐标；（2）求得对称点的坐标，直线方程，令，可得的坐标，假设存在，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，结合在双曲线上，化简整理，即可得到定点；（3）设出直线的方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理，由向量数量积的性质，可得向量，的数量积为0，化简整理，解方程可得的值，检验判别式大于0成立，进而得到直线的方程．

【解析】
（1）由已知，得,故双曲线的方程为

为直线AM的一个方向向量，

直线AM的方程为它与轴的交点为

（2）由条件，得且为直线AN的一个方向向量，

故直线AN的方程为它与轴的交点为

假设在轴上存在定点，使得,则

由及得

故即存在定点，其坐标为或满足题设条件.

（3）由知，以为邻边的平行四边形的对角线的长相等，故此四边形为矩形，从而

由已知，可设直线的方程为并设

则由得

由及得且（*）

由

得

故符合约束条件（*）.

因此，所求直线的方程为