Question

已知数列中，，，且其前n项和满足（其中），令；

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求证： ，；

（3），求同时满足下列条件的所有a的值；

①对任意的正整数n，都有；

②对任意的，均存在，使得当时，．

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）根据题意得到，利用累加法计算得到.

（2）变换得到，利用裂项求和得到，得到证明.

（3）讨论，和三种情况，利用放缩思想推出矛盾得到答案.

（1），故 ，即

利用累加法得到：

当，是验证成立，故

（2），

则

（3）当时，，

故，当取时，，不成立；

当时，根据（2）知，；取时，，满足；

当时，

，取 ，则，故矛盾.

综上所述：