Question

设是定义在R上的两个函数，满足， 满足，且当时，，.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是______

Answer

【解析】

由题可得是周期为4的函数,是周期为2的函数,转化方程有8个不同的实数根为与在内有8个交点,利用函数图像求解即可

由题,,所以的周期为；

因为,则的周期为2；

当时,,则的图像为以为圆心,半径为1的在轴上方的半圆；由,则当时,是以为圆心, 半径为1的在轴下方的半圆,

由周期性画出部分图像,如图所示,即时与在内有2个交点,

因为关于的方程有8个不同的实数根,则时与在内需有6个交点,则

①令与圆相切,此时有一个交点,则,则（与上半圆相切）或（与下半圆相切）；

②令过,此时有2个交点,则；令过,此时有2个交点,则；

假设在时有2个交点,即与圆的上半圆有2个交点,则,由函数的周期性,则在内有6个交点；

当时,图像为圆的下半圆向右平移2个单位得到,则当时,与圆的下半圆有2个交点,由的周期为2,则当时,与也有2个交点,同理,则在内有6个交点；

综上,

故答案为：