Question

如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）设为棱上的点（不与，重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．

Answer

（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）建立适当的空间直角坐标系，确定各点坐标，得到，，根据线面垂直的判定定理，即可证明.

（2）由（1）可知，平面的法向量，确定平面的法向量，根据，求解即可.

（3）设，确定，，根据直线与平面所成角的正弦值为，求解，即可.

（1）因为平面，平面，平面

所以，

因为

则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知可得，，，，，.

所以，，.

因为，.

所以，

又，平面，平面.

所以平面．

（2）设平面的法向量，由（1）可知，

设平面的法向量

因为，.

所以，即

不妨设，得．

所以二面角的余弦值为．

（3）设，即.

所以，即.

因为直线与平面所成角的正弦值为

所以

即解得

即．