Question

已知，函数.

（1）若，证明：函数在区间上是单调增函数；

（2）求函数在区间上的最大值；

（3）若函数的图像过原点，且的导数，当时，函数过点的切线至少有2条，求实数的值.

Answer

（1）证明见解析；（2）当时,最大值为；当时,最大值为（3）

【解析】

（1）由题,利用导函数求单调区间即可；

（2）利用导数可以推导得到在区间上是减函数,在区间上是增函数,则当时,的最大值为和中的最大值,作差可得,设,再次利用导数推导的单调性,进而得到上的最大值；

（3）由题可得,设切点为,则处的切线方程为：,将代入可得,则将原命题等价为关于的方程至少有2个不同的解,设,进而利用导函数判断的单调性,从而求解即可

（1）证明：,则,

当时,,

,即此时函数在区间上是单调增函数.

（2）由（1）知,当时,函数在区间上是单调增函数,

当时,,则,,则在区间上是单调减函数；

同理,当时,在区间上是单调增函数,在区间上是单调减函数；

即当,且时,在区间上是减函数,在区间上是增函数,

则当时,的最大值为和中的最大值，

,

令,

则,

在上为增函数,

,

当时,,即,此时最大值为；

当时,,即,此时最大值为.

（3）,

,

的图像过原点,

,即,则,

设切点为,则处的切线方程为：,

将代入得,

即（※）,

则原命题等价为关于的方程（※）至少有2个不同的解,

设,

则,

令,,

,

当和时,,此时函数为增函数；

当时,,此时函数减函数,

的极大值为,

的极小值为,

设,则,则原命题等价为,即对恒成立,

由得,

设,则,

令,则,,当时,；当时,,

即在上单调递增,在上单调递减,

的最大值为,,

故,

综上所述,当时,函数过点的切线至少有2条,此时实数m的值为