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如图.四棱柱的底面是直角梯形,,,,四边形和均为正方形. (1)证明;平面平面A...

如图.四棱柱的底面是直角梯形,,四边形均为正方形.

1)证明;平面平面ABCD

2)求二面角的余弦值.

 

(1)证明见解析;(2) 【解析】 (1)证明平面ABCD,再利用面面垂直判定定理证明 (2)由(1)知,AB,AD两两互相垂直,故以A为坐标原点,AB,AD,所在直线分别为x,y,z轴建系,求出两个半平面的法向量,再利用二面角的向量公式求解即可 (1)证明:因为四边形和均为正方形,所以,. 又,所以平面ABCD. 因为平面,所以平面平面ABCD. (2)(法—)由(1)知,AB,AD两两互相垂直,故以A为坐标原点,AB,AD,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,, 则,. 设为平面的法向量,则 令,则,,所以. 又因为平面ABCD,所以为平面ABCD的一个法向量. 所以. 因为二面角是锐角.所以二面角的余弦值为. (法二)过B作于H,连接. 由(1)知平面ABCD,则, 而,所以平面 所以 从而为二面角的平面角. 由等面积法,可得,即. 所以, 故.
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