Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）已知函数在时总有成立，求的取值范围.

Answer

（1）见解析 （2）

【解析】

（1）先对函数求导，得到，分别讨论，，，四种情况，即可求出结果；

（2）先构造函数，分别讨论，两种情况，用导数的方法研究函数单调性，即可根据题意求出参数范围.

（1）因为，

所以.

（ⅰ）若，恒成立，所以在上单调递增.

（ⅱ）若，，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.

（ⅲ）若，恒成立，所以在上单调递增.

（ⅳ）若，，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.

综上，当或时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减

（2）构造函数，

当时，由，得，，∴.

当时，，

因为，所以，所以在上恒成立，故在上单调递增.

，解得，又，所以.

故的取值范围是.