Question

已知正项数列的前项和为，对任意，点都在函数的图象上．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列，求数列的前项和；

（3）已知数列满足，若对任意，存在使得成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由题意可得，由时，时，，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和；
（3）求得，可令为数列的前项和，运用数列的分组求和和裂项相消求和可得，分别求得，的最大值，由不等式恒成立和存在性问题解法可得的范围.

【解析】
（1）点都在函数的图象上，

可得，

时，，解得；

时，，

化为，可得，对也成立，

则；

（2），

前项和，

，

相减可得

，

化为；

（3）由，可令为数列的前n项和，

可得

，

由时，，即有，

可得，

又时，的最大值为，

对任意，存在使得成立，

则，解得.