Question

如图所示，在三棱锥SABC中，，O为BC的中点．

（1）求证：面ABC；

（2）求异面直线与AB所成角的余弦值；

（3）在线段上是否存在一点，使二面角的平面角的余弦值为；若存在，求的值；若不存在，试说明理由.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）存在，BE：BA＝1：2，理由见解析

【解析】

（1）由题意及所给的边长设，则SO＝，AO＝，SA＝a，得到SO⊥OA，及利用线线垂直的判定定理得到线面垂直；

（2）由题意及图形特点以O为原点，以OA，OB，OS所在射线为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系．写出点的坐标，利用异面直线所成角的定义求出夹角；

（3）由题意属于开放性的题目，利用假设存在，利用条件对于坐标设出未知的变量，利用向量的知识解出变量的大小，进而求出二面角的大小．

（1）在三棱锥SABC中，，O为BC的中点，

连接SO，显然SO⊥BC，设SB＝a，则SA＝a，SO＝，AO＝，

∴SO2+OA2＝SA2，∴SO⊥OA，又∴BC∩OA＝0，∴SO⊥平面ABC．

（2）以O为原点，以OA，OB，OS所在射线为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系．

则有O（0，0，0），，，，，

∴，，∴，

∴异面直线SC与AB所成角的余弦值为.

（3）假设存在E满足条件，设（），则，

所以．

设面SCE的法向量为＝（x，y，z），

由，得，．

因为OA⊥面ABC，所以可取向量＝（1，0，0）为面SBC的法向量．

所以，，解得，或（舍）．

所以，当BE：BA＝1：2时，二面角B﹣SC﹣E的余弦值为．