Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明：直线与轴相交于定点.

Answer

（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）求椭圆的方程即求出参数的值，从条件中列出两个关于的方程，构成方程组求解；

（2）设出，，三点坐标，设出直线方程，运用 “设而不求”的思想方法，用表示出，，借助，表示直线与轴的交点，进而代入求解出点坐标.

【解析】
（1）因为，

所以，

设以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆方程为，

则圆心到直线的距离，

解得，代入中，

即，

解得：，

故椭圆的方程为，

（2）设，，

由题知斜率肯定存在，设直线方程为，

联立，

整理得，

则，，

直线的方程为：，

令，

则，

将，代入

得，

所以，

故直线过定点.