Question

已知椭圆的一个焦点为，离心率为，为椭圆的左顶点，，为椭圆上异于的两个动点，直线，与直线分别交于，两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若与的面积之比为，求的坐标；

（3）设直线与轴交于点，若，，三点共线，判断与的大小关系，并说明理由.

Answer

（1）；（2）或；（3），理由见解析

【解析】

（1）根据焦点，离心率可得出椭圆方程；

（2）将与的面积之比转化为边长之比，再次转化为向量之间的等量关系，从而求解的坐标；

（3）要求与的大小关系，由于均是锐角，故可借助正切来进行比较大小，设出，，，根据题意可求出三者之间的关系，从而用一个量来表示与的正切，进而可比较出大小关系.

【解析】
（1）由题意得，又，

解得，．

，．

椭圆的方程为；

（2）【解析】
与的面积之比为，

，则，

设，，

则，

解得，．

将其代入，解得．

的坐标为或；

（3），证明如下.

证明：设，，，

若，则为椭圆的右顶点，由，，三点共线知，

为椭圆的左顶点，不符合题意．

．

同理．

设直线的方程为．

由消去，

整理得．

恒成立．

由韦达定理得到：，

解得．

．

得．

当时，，，即直线轴．

由椭圆的对称性可得．

又，

．

当时，，

直线的斜率，

同理．

，，三点共线，

，

得．

在和中，

，

，

．

，均为锐角，

．

综上，若，，三点共线，则．