Question

已知无穷数列,,满足:对任意的,都有=,=,=.记=(表示个实数,,中的最大值). 

(1)若=,=,=,求,,的值;

(2)若=,=,求满足=的的所有值;

(3)设,,是非零整数,且,,互不相等,证明:存在正整数,使得数列,,中有且只有一个数列自第项起各项均为.

Answer

（1）=,=,=.（2）,,,.（3）见详解

【解析】

(1)由题意代入分别求出,,的值;

(2)设=,的值,讨论的函数表达式,进而得出,,,,,都用表示,进而求出所有的的值;

(3)分类讨论:先,,都不为零,由题意得出矛盾;所以存在正整数,使,,中至少有一个为零,再讨论两个为零得出矛盾,以此类推,即有:对,=,=,=,,此时有且仅有一个数列自项起各项均为.

（1）由题意:===;===;===;以此类推,看得出=,=,=.

（2）若=,=,=,则=,=,=,

,=,

=,=,

当时,=,=,=,=,由=,得=,不符合题意.

当,=,=,=,,由=,

得=,符合题意.

当,=,=,=,

由=,得=,符合题意,

综上的取值是:,,,.

（3）先证明：存在正整数,使,,,中至少有一个为零,

假设对任意正整数,

,,都不为零,由,,是非零整数,且,,互不相等,得,,

若对任意,,,都不为零,则.即对任意,.

当时,=,=,=,

所以=,所以单调递减,由为有限正整数,所以必存在正整数,使得,矛盾,

所以存在正整数,使,,中至少有一个为零,

不妨设=,且,…,则=,且=,

否则若==,因为=,

则必有===,矛盾.

于是,=,=,且=,所以,=,

=,==,

以此类推,即有:对,=,=,=,,

此时有且仅有一个数列自项起各项均为.

综上:结论成立.