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设和是双曲线上的两点,线段的中点为,直线不经过坐标原点. (1)若直线和直线的斜...

是双曲线上的两点,线段的中点为,直线不经过坐标原点

1)若直线和直线的斜率都存在且分别为,求证:

2)若双曲线的焦点分别为,点的坐标为,直线的斜率为,求由四点所围成四边形的面积.

 

(1)见解析;(2) 【解析】 (1)法一:设不经过点的直线方程为,与双曲线方程联立,利用中点坐标表示,再求;法二:利用点差法表示; (2)先由已知求得双曲线方程和直线的方程,由条件表示四边形的面积;令解,利用的中点是,直接求点的坐标,再表示四边形的面积. (1)证明:法1:设不经过点的直线方程为,代入双曲线方程得:. 设坐标为,坐标为,中点坐标为,则,, ,,所以,,. 法2:设、,中点,则,且, (1)﹣(2)得:. 因为,直线和直线的斜率都存在,所以, 等式两边同除以,得:,即. (2)由已知得,求得双曲线方程为,直线斜率为, 直线方程为,代入双曲线方程可解得,中点坐标为. 面积. 另【解析】 线段中点在直线上.所以由中点,可得点的坐标为,代入双曲线方程可得,即,解得(),所以.面积.
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考点分析:
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