Question

已知定义在实数集上的偶函数和奇函数满足.

（1）求与的解析式；

（2）若定义在实数集上的以2为最小正周期的周期函数，当时，，试求在闭区间上的表达式，并证明在闭区间上单调递减；

（3）设（其中为常数），若对于恒成立，求的取值范围.

Answer

（1），（2）;证明见解析（3）

【解析】

（1）根据奇函数与偶函数定义,可分别代入得关于与的方程组,解方程组即可求得与的解析式;

（2）由为以2为最小正周期的周期函数,所以当时,即可根据求得求在闭区间上的表达式.根据函数单调性的定义,任取,即可通过作差法证明函数的单调性.

（3）利用换元法,令,由可求得的取值范围.则.由可知当时满足,因而可知恒成立.分离参数可知,结合基本不等式即可求得的取值范围.

（1）由①,

因为是偶函数,是奇函数

所以有,即②

∵,定义在实数集上

由①和②解得,

（2）是上以2为正周期的周期函数

所以当时,

即在闭区间上的表达式为

下面证明在闭区间上递减:

,当且仅当

即时等号成立.对于任意

因为,所以,,,,

从而,所以当时,递减

（3）∵在单调递增

∴

∴对于恒成立

∴对于恒成立

令,则

当且仅当时,等号成立,且

所以在区间上单调递减

∴

∴为的取值范围