Question

如图，在棱长为1的正方体中，为的中点.求：

（1）异面直线与所成角的余弦值；

（2）点到平面的距离.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）延长至,使,连结、,则就是异面直线与所成的角. 在中由余弦定理即可求得.

（2）过作交的延长线于.连结.可知,进而求得和,即可利用等体积求得点到平面的距离.

（1）延长至,使,连结、,如下图所示:

∵

∴四边形是平行四边形

∴

就是异面直线与所成的角.

在中

,

∴

即异面直线与所成角的余弦值是.

（2）过作交的延长线于.连结.底面如图所示.

由于,,则

∴

∴,

∴

在中,,

.

设点到平面的距离为

则由三棱锥体积公式可得：

即

所以

即点到平面的距离为.