Question

已知定义在实数集上的偶函数和奇函数满足．

（1）求与的解析式；

（2）求证：在区间上单调递增；并求在区间的反函数；

（3）设（其中为常数），若对于恒成立，求的取值范围．

Answer

（1），；（2）见解析，，；（3）

【解析】

（1）利用函数的奇偶性构造，解出两个函数的解析式；

（2）由（1）可知，利用定义证明函数的单调性，令，整理为，解得，再求反函数；

（3）在单调递增，∴， 对于恒成立，然后利用参变分离为对于恒成立，求的取值范围.

（1）①，

因为是偶函数，是奇函数，所以有，即②

∵，定义在实数集上，

由①和②解得，，．

（2），当且仅当，即时等号成立．对于任意，，

因为，所以，，，，，，

从而，所以当时，递增．

设，则，令，则．再由解得，即．

因为，所以，

因此的反函数，.

（3）∵在单调递增，∴．

∴对于恒成立，∴对于恒成立，

令，则，当且仅当时，等号成立，且，

所以在区间上单调递减，∴，

∴为的取值范围．