Question

某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径.假定拟建体育馆的高（单位：米，下同）.

 

（1）若，，求、的长度；

（2）若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围；

（3）若，求的最大值.

Answer

（1），；（2）；（3）米.

【解析】

（1）由可求出的长，在抛物线方程中，令，可求出的长，在圆的方程中，令，可求出的长，相加即可得出的长；

（2）问题转化为恒成立，根据基本不等式解出即可；

（3）先求得，在圆的方程中，令，可得出，从而得出，令，将问题转化为求函数在上的最大值.

法一：令，，利用三角函数知识可求出的最大值；

法二：令，，将问题转化为已知，求的最大值，利用数形结合思想可求出的最大值.

（1）因为圆的半径为，所以米，

在中令，得

在圆中，令得，

所以米；

（2）由圆的半径为，得

在中，令，得，

由题意知对恒成立，所以恒成立.

当时，即当时，取得最小值，故，解得.

因此，实数的取值范围是；

（3）当时，

又圆的方程为，令，得，

所以，从而

下求的最大值.

方法一：令，，

则，

其中是锐角，且，从而当时，取得最大值；

方法二：令，，则题意相当于：已知，求的最大值.

当直线与圆弧相切时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，且有，，解得，

因此，的最大值为

答：当米时，的最大值为米.