Question

已知函数()是偶函数.

(1)求的值;

(2)设,判断并证明函数在上的单调性;

(3)令若对恒成立,求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）单调递增函数.见解析（3）

【解析】

（1）由题意得，推出得，从而有，解出即可；

（2）先求出函数的解析式，再根据单调性的性质即可得判断函数的单调性，再利用作差法证明即可；

（3），令，换元法得在上恒成立，利用分离变量法求出函数在上的最值，从而可求出的取值范围．

解:(1)由是偶函数得，

可得，

∴，即，得，

解得:；

(2)由(1)可知，

,

，

和在上单调递增，

为在上的单调递增函数，

证明:任取，那么

，

，，

，，

则,，

，

即那么，

为在上的单调递增函数；

(3)由(2)可知，

那么，

令,则，

,，

转化为在上恒成立，

即在上恒成立，

而函数和在上单调递增，

则函数在上单调递增，

∴，

∴，

故：实数的取值范围为．