Question

某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.

表中，.

（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型？（不必说明理由）

（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；

（3）若单位时间内煤气输出量与旋转的弧度数成正比，那么，利用第（2）问求得的回归方程知为多少时，烧开一壶水最省煤气？

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为，

Answer

（1）选取更合适；（2）；（3）时，煤气用量最小.

【解析】

（1）根据散点图的特点，可得更适合；

（2）先建立关于的回归方程，再得出关于的回归方程；

（3）写出函数关系，利用基本不等式得出最小值及其成立的条件.

（1）选取更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型；

（2）

由公式可得：，

，

所以所求回归直线方程为：；

（3）根据题意，设，

则煤气用量，

当且仅当时，等号成立，

即时，煤气用量最小.