Question

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左､右两个顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点.

(1)求直线的方程;

(2)求的值;

(3)设为常数，过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点，分别交圆于点，记三角形和三角的面积分别为.求的最大值.

Answer

(1);(2);(3)

【解析】

（1）连接，根据已知条件由，，可得，从而有为等边三角形，可得出直线倾斜角为，即可求解；

（2）由，椭圆方程化为，由（1）知，求出点坐标，进而求出直线方程，与椭圆方程联立，求出点坐标，即可求解；

（3）设的方程为，与椭圆方程联立求出点坐标，进而求出，同理求出，求出以为自变量的目标函数，应用基本不等式，求出其最大值.

(1)连接，则，且，

又，所以.

又，所以为正三角形，

所以，

所以直线的方程为.

(2)由(1)知，由（1）知，

点坐标为，，

的方程为，

因为，即

所以，

故椭圆的方程为

由，消去，得，

或，

所以

(3)不妨设的方程为，

联立方程组

整理得，

在第一象限，得

所以.

用代替上面的，得

圆方程为，

联立整理得，

或，得，所以，

用代替上面的，得

所以

因为

当且仅当时等号成立，

所以的最大值为.