Question

已知函数f（x）＝（x＋b）（－a），（b＞0），在（－1，f（－1））处的切线方程为（e－1）x＋ey＋e－1＝0．

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）若方程f（x）＝m有两个实数根x₁，x₂，且x₁＜x₂，证明：x₂－x₁≤1＋．

Answer

（Ⅰ），（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）由题意利用导函数研究函数的切线方程，得到关于a,b的方程组，求解方程组并检验可得，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，则在(-1，0)处的切线方程为，构造函数，结合新构造函数的性质分类讨论即可证得题中的不等式.

（Ⅰ）由题意，所以，

又，所以，

若，则，与矛盾，

故，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，

设在(-1，0)处的切线方程为，易得，，

令即，，

当时，，

当时，设， ，

故函数在上单调递增，又，

所以当时，，当时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

故.

，设的根为，则又函数单调递减，

故，故，

设在(0,0)处的切线方程为，

易得令，，

当时，，

当时，

故函数在上单调递增，又，

所以当时，，当时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

，

设的根为，则又函数单调递增，

故，故，

又，.