Question

已知数列的各项均为正数，，且对任意,都有，数列前n项的和.

（1）若数列是等比数列，求的值和；

（2）若数列是等差数列，求和的关系式；

（3），当时，求证: 是一个常数.

Answer

（1）； （2）； （3）见解析.

【解析】

（1）确定数列的通项，利用，可得c的值，分类讨论求和可得；

（2）求出数列的公差，利用，建立关系式，可得和的关系式；

（3）利用分析法进行证明.

（1）由题意得：，

，

因为数列的各项均为正数，所以

当时，，，

当且时，，

当时，

当时，，

所以

（2）由题意得：

，，

，

（3）计算，

猜想

欲证明恒成立

只需要证明恒成立

即要证明恒成立

即要证明恒成立（***）

，

，

（***）左边

（***）右边

所以（***）成立

方法二：计算

猜想

，

由于，上式两边同除以，

得.

所以，.

所以是常数