Question

如图，四棱柱中，是棱上的一点，平面，，，.

（1）若是的中点，证明：平面平面；

（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）由线面垂直的判定定理，证得平面，得到，又由，证得，进而得到平面，再由面面垂直的判定定理，即可证得结论；

（2）以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和平面的法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.

（1）因为平面，所以，

又，故平面，

平面，故，

因为，所以，同理，

所以，又，

所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（2）设，则，，

以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.

则，，，，，

，，，，

记平面的法向量为，记平面的法向量为，

由，得，

由，得，

则，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.