Question

已知点，是圆上的一个动点，为圆心，线段的垂直平分线与直线的交点为．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设与轴的正半轴交于点，直线与交于两点（不经过点），且,证明：直线经过定点，并写出该定点的坐标．

Answer

（1）；（2）直线经过定点.

【解析】

（1）由椭圆定义，得到点的轨迹是以、为焦点的椭圆，求得的值，进而得到的值，即可得到椭圆的标准方程；

（2）联立方程组，利用二次方程根与系数的关系，求得，，得到，，再由，根据，即可求解实数m的值，进而得出结论.

（1）圆的圆心，半径，

由垂直平分线性质知：，

故，

由椭圆定义知，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，

设：，焦距为，

则，，，，

所以的方程为.

（2）由已知得，由得，

当时，设，，则，，

，，

由得，即，

所以，解得或，

①当时，直线经过点，不符合题意，舍去.

②当时，显然有，直线经过定点.