Question

已知函数在点处切线的斜率为1.

（1）求的值；

（2）设，若对任意，都有，求实数的取值范围.

Answer

（1）-1；（2）.

【解析】

（1）由题意，求得函数的导数，由，即，即可求解的值.

（2）由对任意，都有，转化为对任意，都有，设，利用导数求得函数在上单调性，可得，设，利用导数求得函数的单调性与最值，进而可得到答案.

（1）由题意得，，

由于，所以，即.

（2）由题意得，当时，，则有.

下面证当时，对任意，都有.

由于时，，当时，则有.

只需证明对任意，都有.

证明：设，则，所以在上单调递增；

所以当时，，即，

所以，则.

设，，则.

设，，则.

由于当时，；当时，；

则当时，.

又时，，所以当时，则，所以在上单调递增.

当时，则，即，所以在上单调递增.

当时，则.

所以对任意，都有.

所以，当时，对任意，都有.