Question

已知抛物线：的焦点为，为抛物线上一点，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的直线与抛物线交于，两点，求线段的垂直平分线的横截距的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）由抛物线的定义知，即可求出的值，进而求出抛物线的方程；

（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，可求得，两点的中点坐标，进而求得线段的垂直平分线方程，令，可求得横截距的表达式，求出取值范围即可.

（1）由抛物线的定义知，即，∴，故抛物线的方程为；

（2）由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，

联立，得，

∴线段中点纵坐标为，横坐标为，

∴的垂直平分线方程为，令得，

由题知直线不与轴垂直，否则中垂线的横截距不存在，即，

∴.