Question

如图，四棱锥中，底面为菱形，直线平面，，，是上的一点，.

（1）证明：直线平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）设，连接，由平面，可得，证明和相似，可得，从而可知平面；

（2）由，可知为正方形，以为原点，，，所在方向分别为，，轴的正半轴建立空间直角坐标系，分别求得平面和的法向量，进而可求得二面角的余弦值.

（1）设，连接，∵平面，

∴，又，∴面，∴，

在直角中，，，故，∴，

则，∴和相似，故，

又，∴平面；

（2）由，可知为正方形，，

又平面，故以为原点，，，所在方向分别为，，轴的正半轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

∵，故，

显然平面的一个法向量为，，，

设平面的一个法向量为，则，即，令，得，

设二面角的大小为，则，

故二面角的余弦值为.