Question

已知是底面边长为的正四棱柱，是和的交点.

（1）若正四棱柱的高与底面边长相等，求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意，正四棱柱是棱长为1的正方体，连结，则是二面角的平面角，由此能求出二面角的大小.
（2）设正四棱柱的高为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出正四棱柱的高.

（1）由题意，正四棱柱是棱长为的正方体，

连结，因为，为的中点，所以，

又，所以是二面角的平面角.

因为平面，所以，

所以，.

所以，二面角的大小为；

（2）设正四棱柱的高为.

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，.

设平面一个法向量为，

由得即

取，得，

所以，点以平面的距离为，

解得.

所以，正四棱柱的高为.