Question

如图，已知直线与抛物线（）交于、两点，为坐标原点，.

（1）求直线的方程和抛物线的方程；

（2）若抛物线上一动点从到运动时（不与、重合），求面积的最大值.

Answer

（1）， ；（2）.

【解析】

1）设，，将直线方程代入抛物线的方程，运用韦达定理，由向量的坐标运算和点满足抛物线的方程，解方程可得，，即可得到所求直线和抛物线的方程；
（2）由直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，可得，设 运用点到直线的距离公式，配方，由二次函数的最值求法，可得距离的最大值，进而得到面积的最大值.

（1）设，，

由得，由题意，，，

，即有，

则，所以，

由，得，

即，故，.

所以，直线的方程为，抛物线的方程为；

（2）由得，，，

所以

，

设，（），

因为为定值，所以当点到直线的距离最大时，的面积取最大值.

，

因为，所以当时，.

所以，当点坐标为时，的面积取最大值，

且.