Question

已知数列中，，前项和为，且.

（1）求，的值；

（2）证明：数列是等差数列，并写出其通项公式；

（3）设（），试问是否存在正整数，（其中，使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数对；若不存在，请说明理由.

Answer

（1），；（2）证明见解析，；（3）存在，.

【解析】

（1）在中，分别令即可求得答案；
（2）由，即，得，两式作差整理变形，根据等差数列等差中项的性质即可证明；
（3）假设存在正整数数组，使，，成等比数列，则可得到关系，观察可知满足条件，根据数列单调性可证明唯一符合条件.

（1）令，则，

令，则，；

（2）由，即 ① ，

又 ②，

②式减①式，得 ③，

于是 ④，

③、④两式相加，得，

所以，即，

所以，数列是等差数列.

又，，所以公差，

所以的通项公式为；

（3）由（2）和，知，假设存在正整数数组（），使得，，成等比数列，则，

于是，所以 （*），

当时，，，.

所以是方程（*）的一组解.

当且时，因为，即单调递减，

所以，此时方程（*）无正整数解.

综上，满足题设的数对有且只有一个，为.