Question

已知函数，，函数，记.把函数的最大值称为函数的“线性拟合度”.

（1）设函数，，，求此时函数的“线性拟合度”；

（2）若函数，的值域为（），，求证：；

（3）设，，求的值，使得函数的“线性拟合度”最小，并求出的最小值.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）当时，.

【解析】

（1）由题意，将和带入求出的表达式，求出此时的最大值即可；
（2）由定义写出的表达式，以及可能的取值情况，再用绝对值不等式性质即可得到所求；
（3）写出的函数表达式，讨论的不同取值情况时函数的单调性，求出其对应的值.

（1），

当时，，

当且仅当，即时，取等号，

所以，则在时单调递减，

在时单调递增.

又，，所以函数对于函数的“线性拟合度”；

(2) 根据定义，，又，

所以，，

于是.

因为

所以，即；

（3）,，，

考虑函数，的值域：

① 当时，在时单调递增，，

由（2）知，，

当时，取等号，故最小为；

② 当时，，，

当，即时，在时单调递增，，

由（2）知，，

当时，取等号，故最小为；；

当，即时，，

由（2）知，，当且仅当时取等号，最小为；

当，即时，，

由（2）知，；

当，即时，在时单调递减，，

由（2）知，.

综上，当且仅当时，.