Question

如图所示，在直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为，点是上的定点，、是上的两个动点，且线段的中点在线段上.

（1）抛物线的方程及的值；

（2）当点、分别在第一、四象限时，求的取值范围.

Answer

（1），；（2）.

【解析】

（1）求得抛物线的准线方程，由抛物线的定义可求出的值，可得抛物线的方程，代入的坐标，可得的值；

（2）求得的坐标，设出直线的方程，代入抛物线的方程，消去，可得的二次方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得的范围，运用直线的斜率公式，化简整理配方，由二次函数的值域可得所求范围．

（1）抛物线的准线方程是，

所以，解得，所以抛物线的方程为.

又点在抛物线上，所以；

（2）由（1）知，，直线的方程为，故，即点.

由题意，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，

由，消去，得，

设、，则，，

因为，所以，，

由，得，

所以，

因为，所以，，，

因此，的取值范围是.