Question

设数列的前项和为，对于任意的，都有.

（1）求数列的首项及数列的递推关系式；

（2）若数列成等比数列，求常数的值，并求数列的通项公式；

（3）数列中是否存在三项、、，它们组成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由.

Answer

（1），；（2），的通项公式为，；（3）不存在满足条件的三项，理由见解析.

【解析】

（1）由递推公式求解；

（2）利用递推公式可得，利用等比数列的定义可求；

（3）假设存在、、成等差数列，则，结合（1）中的通项公式进行推理．

（1）对于任意的，都有.

令，则，解得；

当时，则，

化简得，即，

故数列的递推公式为；

（2）由（1）知，，则，

由题意，故当，且时，数列是等比数列，

所以，当时，数列成等比数列.

此时，，故，即，.

综上，，数列的通项公式为，；

（3）假设、、成等差数列，则，

即，所以，从而，

因为、、且，故为偶数，而为奇数.

所以，不可能成立，即不存在满足条件的三项.