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设数列的前项和为,对于任意的,都有. (1)求数列的首项及数列的递推关系式; (...

设数列的前项和为,对于任意的,都有.

1)求数列的首项及数列的递推关系式

2)若数列成等比数列,求常数的值,并求数列的通项公式;

3)数列中是否存在三项,它们组成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由.

 

(1),;(2),的通项公式为,;(3)不存在满足条件的三项,理由见解析. 【解析】 (1)由递推公式求解; (2)利用递推公式可得,利用等比数列的定义可求; (3)假设存在、、成等差数列,则,结合(1)中的通项公式进行推理. (1)对于任意的,都有. 令,则,解得; 当时,则, 化简得,即, 故数列的递推公式为; (2)由(1)知,,则, 由题意,故当,且时,数列是等比数列, 所以,当时,数列成等比数列. 此时,,故,即,. 综上,,数列的通项公式为,; (3)假设、、成等差数列,则, 即,所以,从而, 因为、、且,故为偶数,而为奇数. 所以,不可能成立,即不存在满足条件的三项.
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