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已知是定义在上的函数,满足. (1)证明:2是函数的周期; (2)当时,,求在时...

已知是定义在上的函数,满足.

1)证明:2是函数的周期;

2)当时,,求时的解析式,并写出)时的解析式;

3)对于(2)中的函数,若关于x的方程恰好有20个解,求实数a的取值范围.

 

(1)证明见解析 (2)当时,,当()时, (3) 【解析】 (1)根据,代换得到得到证明. (2)当时,,则,代入化简得到答案. (3)画出函数图像,根据函数的图像与直线的交点个数得到答案. (1)因为,所以, 所以2是函数的周期. (2)当时,,则, 又,即,解得. 所以当时,,所以 的周期为2,当()时, (3)作出函数的图像,则方程解的个数就是函数的图像与直线的交点个数. 若,则()都是方程的解,不合题意. 若,则是方程的解,要使方程恰好有20个解,在区间上,有9个周期,每个周期有2个解,在区间上有且仅有一个解. 则解得,.若,同理可得. 综上.
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考点分析:
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