Question

已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线交椭圆于两点，若点始终在以为直径的圆内，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）题设条件为易得椭圆方程；

（2）设，直线方程与椭圆方程联立，消元得一元二次方程，由韦达定理可得，注意到直线恒过定点，此为椭圆的左顶点，因此有，，这样可得出点坐标，点始终在以为直径的圆内，则，由此可得的范围．

（1）由题意知，， 椭圆的标准方程为：.

（2）设联立，消去，得：

依题意：直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，所以① ，

由（*）式，②，得 ③ ，由①②③，，

由点B在以PQ为直径圆内，得为钝角或平角，即.

.即

整理得，解得.