Question

如图，平面平面，，，点E，F分别在线段AB，CD上，且.求证：.

Answer

证明见解析

【解析】

AB，CD位置关系分类讨论，若AB，CD共面，可得，结合已知条件可证，即可得证结论；AB，CD异面，作交于点H，连接BH，HD，根据面面平行的性质定理，可证，作交AH于点G，可得，结合已知条件，可证，进而证明，得到平面，即可证明结论.

证明：（1）当AB，CD共面时，

因为，且平面平面，

平面平面，所以.

所以四边形ABDC是梯形或平行四边形.

由，得.

又，，所以.

（2）当AB，CD异面时，

作交于点H，连接BH，HD，如图所示.

因为，且平面AHDC与平面，的交线分别为AC，HD，

所以.所以四边形AHDC为平行四边形.

作交AH于点G，连接EG，于是.

因为，所以，从而.

又，，所以.

因为，，，所以.

又，平面EFG，平面EFG，

所以平面.

又平面EFG，，所以.