Question

如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB，△ABC均是等边三角形，PA⊥AC.

（1）证明：AB⊥PC；

（2）若PC＝2，求三棱锥P﹣ABC的体积.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取AB中点O，连接PO，CO，证明AB⊥平面POC得到证明.

（2）计算PO＝CO，利用余弦定理得到cos∠POC，再计算体积得到答案.

（1）取AB中点O，连接PO，CO，

∵△PAB，△ABC均是等边三角形，∴AB⊥PO，AB⊥CO，又PO∩CO＝O，

∴AB⊥平面POC，则AB⊥PC；

（2）∵PA⊥AC，∴△PAC是等腰直角三角形，

又斜边PC＝2，可得直角边PA＝AC，∴PO＝CO，

在△POC中，有cos∠POC，∴sin∠POC.

∴.