Question

已知函数f（x）.

（1）判断并用定义证明函数f（x）在（﹣∞，1）上的单调性；

（2）若f（x）在[a，0]（a＜0）上的最大值与最小值之差为2，求a的值.

Answer

（1）f（x）在（﹣∞，1）上的单调递减，证明见解析（2）a＝﹣2

【解析】

（1）函数单调递减，设x1＜x2＜1 ，计算f（x1）＞f（x2）得到证明.

（2）根据函数单调性代入数据计算得到答案.

（1）∵f（x）＝2在（﹣∞，1）上的单调递减，

设x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）0，

∴f（x1）＞f（x2），

故f（x）在（﹣∞，1）上的单调递减，

（2）由（1）可知f（x）在[a，0]上的单调递减，

故当x＝a时，函数取得最大值f（a）＝2；x＝0时，函数取得最小值f（0）＝﹣1，

因此21＝2，a＝﹣2.