Question

如图所示，在四棱锥E﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点.

（1）证明：AE∥平面BDF；

（2）若点P为线段AE的中点，求证：BE⊥平面PCD.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）连结AC，交BD于O，连结OF，证明AE∥OF得到答案.

（2）取BE中点G，连结CG、PG，证明PG⊥BE，CG⊥BE得到答案.

（1）连结AC，交BD于O，连结OF，

∵四边形ABCD为矩形，∴O是AC中点，

∵点F为CE的中点，∴AE∥OF，

∵OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，

∴AE∥平面BDF.

（2）取BE中点G，连结CG、PG，

∵四边形ABCD为矩形，点P为线段AE的中点，∴PG∥AB∥CD，

∴平面PCD与平面PDCG是同一个平面，

∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC，

∵平面ABCD⊥平面BCE，∴AB⊥平面BCE，

∵PG∥AB，∴PG⊥平面BCE，∴PG⊥BE，

∵BC＝CE，点F为CE的中点，∴CG⊥BE，

∵PG∩CG＝G，∴BE⊥平面PCD.