Question

已知过原点的动直线l与圆C₁：x²+y²﹣4x＝0相交于不同的两点A，B.

（1）求线段AB的中点M的轨迹C₂

（2）是否存在实数k，使得直线L：y＝k（x﹣4）与曲线C₂只有一个公共点？若存在，求出k的取值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（x﹣1）2+y2＝1（2）存在，k的取值为±

【解析】

（1）设直线l的方程为y＝kx，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，根据韦达定理得到，化简得到答案.

（2）联立方程，计算得到答案.

（1）设直线l的方程为y＝kx，A（x1，y1），B（x2，y2），

与圆C1联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣4x＝0，

由△＝16＞0，且x1+x2，x1x2＝0，

所以线段AB的中点M的轨迹C2的参数方程为，

将k代入参数方程中的一个，

化简可得线段AB的中点M的轨迹C2的方程为：（x﹣1）2+y2＝1；

（2）联立，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（2+8k2）x+16k2＝0，

令△＝（2+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2＝0，解得k＝±，

k的取值为±.