Question

已知函数．

（1）若不等式的解集为，求a的值；

（2）在（1）的条件下，若存在，使，求t的取值范围．

Answer

（1）2；（2）.

【解析】

（1）求得不等式f（x）＜6的解集为a﹣3≤x≤3，再根据不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3），可得a﹣3＝﹣1，由此求得a的范围；

（2）令g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝|2x﹣2|+|2x+2|+4，求出g（x）的最小值，可得t的范围．

（1）∵函数f（x）＝|2x﹣a|+a，

不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3），

∴|2x﹣a|＜6﹣a 的解集为（﹣1，3），

由|2x﹣a|＜6﹣a，可得a﹣6＜2x+a＜6﹣a，求得a﹣3≤x≤3，

故有a﹣3＝﹣1，a＝2．

（2）在（1）的条件下，f（x）＝|2x﹣2|+2，

令g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝|2x﹣2|+|2x+2|+4＝

故g（x）的最小值为8，

故使f（x）≤t﹣f（﹣x）有解的实数t的范围为[8，+∞）．