Question

已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当点在椭圆的图像上运动时，点在曲线上运动，求曲线的轨迹方程，并指出该曲线是什么图形；

（3）过椭圆上异于其顶点的任意一点作曲线的两条切线，切点分别为不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer

（1） （2），曲线的图形是一个以坐标原点为圆心、为半径的圆 （3）是定值，

【解析】

（1）由得，再把点坐标代入又得一方程，联立后可解得得椭圆方程；

（2）设，用表示，把代入椭圆方程可得曲线方程，由方程可判断曲线形状；

（3）由（1）知，设点，由坐标可得切线方程，代入点坐标于两切线方程后观察结论可得直线方程，求出，计算，利用在椭圆上可得．

（1）由题意得，所以

又点在椭圆上，所以解得

所以椭圆的标准方程为

（2）设，则，于是，

由于点在椭圆的图像上，

所以 即

整理得，

所以曲线的轨迹方程为

曲线的图形是一个以坐标原点为圆心，为半径的圆.

（3）由（1）知，设点

则直线的方程为 ①

直线的方程为 ②

把点的坐标代入①②得

所以直线的方程为

令得令得

所以又点在椭圆上，

所以即为定值．