Question

按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：即4，6，6，8；（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）

2

3,5

4,6,6,8

5,7,7,9,7,9,9,11

……………………………………

若第行所有的项的和为．

（1）求；

（2）试求与的递推关系，并据此求出数列的通项公式；

（3）设，求和的值．

Answer

（1） （2）， （3），

【解析】

（1）根据已给数据可计算，写出第5行后可计算；

（2）根据数表的形成过程，可得递推关系：，化简后，构造新数列是等差数列，通项公式可求；

（3）计算，并裂项得，即用裂项相消法求得和，然后可求得极限．

（1）第5行数据是6，8，8，10，8，10，10，12，8，10，10，12，10，12，12，14．

∴ ．

（2）由题意，第行共有项，

于是有

等式两边同除，得，

即为等差数列，公差为，首项为

所以，即．

（3）因为

所以

所以，

．