Question

已知函数f（x）＝lnxa，f′（x）是f（x）的导函数，若关于x的方程f′（x）0有两个不等的根，则实数a的取值范围是_____

Answer

（﹣∞，ln2）

【解析】

根据题意可得f′（x），代入关于x的方程f′（x）0，方程有2个交点转化为y＝1lnx与y＝a有两个不同的交点，则令g（x）＝1lnx，求导研究g（x）的图象从而可得a的取值范围.

根据题意可得，f′（x），x＞0

∵关于x的方程关于x的方程f′（x）0有两个不相等的实数根，

∴lnxa有两个不相等的实数根，

∴y＝1lnx与y＝a有两个不同的交点；

令g（x）＝1lnx，

∴g′（x），

令g′（x）＝0，x＝2或﹣1（舍负）；

令g′（x）＞0，0＜x＜2；令g′（x）＜0，x＞2；

∴g（x）的最大值为g（2）＝1ln2ln2；

∴aln2；

∴a的取值范围为（﹣∞，ln2）.

故答案为：（﹣∞，ln2）.