Question

已知函数f（x）＝sinxcosxcos2x+1

（1）求f（x）的最小正周期和最大值，并写出取得最大值时x的集合；

（2）将f（x）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g（x）是偶函数，求φ的最小值.

Answer

（1）最小正周期为Tπ，f（x）取得最大值为2，此时x的集合为{x|x＝kπ，k∈Z}.（2）

【解析】

（1）由三角函数公式化简可得f（x）＝sin（2x）+1，由此可得最小正周期及最大值，由当且仅当2x2kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值，解出x的集合；

（2）通过平移变换可得g（x）=sin（2x+2φ）+1，若函数g（x）是偶函数，运用三角函数的诱导公式，令，k∈Z即可，从而得到φ的最小值．

（1）f（x）＝sinxcosxcos2x+1sin2xcos2x+1＝sin（2x）+1，

所以函数f（x）的最小正周期为Tπ，

当且仅当2x2kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值为2，

此时x的集合为{x|x＝kπ，k∈Z}.

（2）g（x）＝f（x+φ）＝sin（2x+2φ）+1，

因为g（x）是偶函数，

所以2φkπ，k∈Z，即φkπ，k∈Z，

所以φ的最小值为.