Question

如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，E是线段SD上一点.

（1）若E是SD的中点，求证：SB∥平面ACE；

（2）若SA＝AB＝AD＝2，SC＝2，且DEDS，求二面角S﹣AC﹣E的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由题意连结BD，交AC于点O，连结OE，可证OE∥SB，SB∥平面ACE得证；

（2）建立空间直角坐标系，求得平面SAC与平面ACE的法向量，代入公式求二面角的余弦值即可.

（1）证明：连结BD，交AC于点O，连结OE，

∵底面ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，

∵E是SD的中点，∴OE∥SB，

∵SB⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，

∴SB∥平面ACE.

（2）∵SA⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴SA⊥AC，

在Rt△SAC中，SA＝2，SC＝2，

∴AC＝2，

∵AB＝AD＝2，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，

∴BD＝2，

以O为原点，OD为x轴，OA为y轴，过O作AS的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，

O（0，0，0），D（，0，0），A（0，1，0），S（0，1，2），

（，1，2），（，），

（），

∵BD⊥平面SAC，取平面SAC的一个法向量（），

设平面ACE的法向量（x，y，z），

则，取x＝4，得（4，0，），

设二面角S﹣AC﹣E的平面角为θ，

则cosθ.

∴二面角S﹣AC﹣E的余弦值为.