Question

已知函数f（x）＝

（1）求f（x）＞0的解集；

（2）若x∈R时，恒成立，求实数m的取值范围.

Answer

（1）（0，+∞）（2）[，+∞）

【解析】

（1）通过对f（x）求导，可得x∈R时，f′（x）≥0，所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f（0）＝0，x∈（0，+∞）时f（x）＞0，不等式得解；

（2）若x∈R时，恒成立，不等式转化为2eex（x∈R），因为都是偶函数，所以只需x∈[0，+∞）时，2ee2x﹣1≥0成立即可，构造新的函数F（x）＝2ee2x﹣1，求导后再对导函数进行分类讨论，可得实数m的取值范围.

（1）因为f（x）＝，则f′（x）＝；

所以x∈R时，f′（x）≥0，

所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f（0）＝0，

所以x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜0，

x∈（0，+∞）时f（x）＞0，

∴f（x）＞0的解集为（0，+∞）.

（2）因为x∈R时，2ee2x+1恒成立，

等价于恒成立，

即2eex（x∈R），

因为都是偶函数，

所以只需x∈[0，+∞）时，2ee2x﹣1≥0成立即可，

令F（x）＝2ee2x﹣1，F（0）＝0，

F′（x）＝2（2mx+1）e2e2x＝2e2x[（2mx+1）e1]，F′（0）＝0，

令G（x）＝（2mx+1）e1，G（0）＝0，

G′（x）＝2me（2mx+1）（2mx﹣1）e（4m2x2+2m﹣1）e

①当2m﹣1≥0，即m时，G′（x）≥0，所以G（x）在[0，+∞）上单调递增，

又因为G（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，G（x）≥0，即F′（x）≥0，

所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为F（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，F（x）≥0，所以m时满足要求；

②当m＝0，x＝1时，2e＜e2+1，不成立，所以m≠0；

③当2m﹣1＜0且m≠0时，即m且m≠0时，x∈上单调递减，

又因为G（0）＝0，所以x∈时，G（x）＜0，即F′（x）＜0，

所以F（x）在上单调递减，

又因为F（0）＝0，所以x∈时，F（x）＜0，

所以m且m≠0时不满足要求.

综上所述，实数m的取值范围是[，+∞）.